CÁLCULO INFINITESIMAL

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por

Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del cálculo moderno

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como límite cuando x tiende a de f(x)=0, se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:
f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1
g(x) = sen(x) es un infinitésimo en 0 + kπ con
Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Propiedades de los infinitésimos

La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

CÁLCULO INTEGRAL

CALCULO INTEGRAL

En Matemáticas, la integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático, aparentemente no relacionados:

El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.
La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación.

Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.

CÁLCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL

Esudia el concepto de diferenciación de una funcion,sus propiedades y aplicaciones

En matemática, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo.

La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; las pendientes de dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la concavidad.

CÁLCULO ALGEBRAICO

se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.HistoriaLa historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

CÁLCULO ARITMÉTICO

El cálculo aritmético estableció un sistema de representación numérica mediante el cual el desarrollo de las operaciones aritméticas podía hacerse de forma sencilla

A partir de ahí se desarrollan formas practicas de realizar las cuatro reglas mediante procedimientos que son auténticos programas .

Estas 4reglas van a ser las reglas básicas mediante las que se construyan los cálculos o algoritmos aritméticos. Cada procedimiento nos da el orden en que se eben emplear las reglas para la solucion de los cálculos y obtener los resultados esperados.


ha merecido principal atención desde que se estableció un sistema de representación numérica mediante el cual la realización de las operaciones aritméticas podía hacerse de forma sencilla (obsérvese la dificultad de hacer las operaciones aritméticas con la representación numérica establecida por los romanos). A partir del Liber abaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci), datado en 1202, se difunde la representación decimal de los números, utilizando para ello las cifras o los guarismos hindúes (arábigos), entre los que se contiene el cero. Las aplicaciones mercantiles y comerciales se ven ampliamente beneficiadas por esta ``nueva tecnología".A partir de ahí se desarrollan formas practicas de realizar las cuatro reglas mediante procedimientos que son auténticos programas (subrutinas de cálculo en la terminologia informática) que la gente emplea sin saber bien que es lo que hace (alguno de los asistentes sabe que está haciendo cuando realiza una división?sabe por qué realiza esa serie de operaciones?. Tambien aparecen reglas para realizar la raíz cuadrada (que siempre ha sido misteriosa y que ustedes no solo habrán ya olvidado su realización sino también su existencia), aunque en ésta epoca era todavía poco utilizada. Pues estas, van a ser las reglas básicas mediante las que se construyan los cálculos o algoritmos aritméticos. Cada procedimiento nos fija el orden en que debemos emplear las reglas para la realización de los cálculos y obtener los resultados deseados.

EDAD CONTEMPORÁNEA

En el siglo XIX la lógica sufrió una transformación la cual produjo cambios en la formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal.
En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, Bolzano, Boole, Whitehead, Russell. Se hizo posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.
Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert "imagen" y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas de Cantor, Russell entre otras a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkl y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

EDAD MODERNA

SIGLOS XVII Y XVIII EN LA HISTORIA DEL CALCULO

Siglo XVII el cálculo volvió a sufrir grandes desarrollos de la mano de Descartes, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal

Los matematicos de estos siglos trabajaban en un ambiente más adecuado para la creación que en cualquier otra época, dado que la geometría de la Grecia clásica del 300 a.C. colocaba no sólo limitaciones en el campo de las matemáticas, sino que mostraba un nivel de rigor a la matemática aceptable que bloqueaban la creatividad .

Los hombres de estos siglos habían roto ambos esquemas antiguos. De hecho , los matemáticos se atrevieron ya a confiar en intuiciones y consideraciones físicas.

El nacimiento del Cálculo a lo largo de estos siglos fue consecuencia de la aparición de un nuevo tipo de problemas que trataban con “cantidades variables”, en contradiccion a los problemas algebraicos

ALGUNOS PROBLEMAS

Dada la expresión de la distancia recorrida por un móvil en función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración del mismo (que serán cantidades que varían en el tiempo). Estos problemas vienen motivados, entre otras cuestiones, por el estudio de la caída de los cuerpos o del movimiento de los planetas

El problema de las tangentes
¿Cómo obtener la tangente a una curva en un punto?
Es más, ¿cómo se define la tangente?

La optimización: la determinación de máximos y mínimos.

Longitudes de curvas.
Áreas delimitadas por curvas y volúmenes delimitados por superficies
Centros de gravedad de figuras planas y de sólidos.

Hay muchos aspectos diferentes en la obra de Newton, , junto con los de Newton descubrió y desarrolló el cálculo de fluxiones entre 1666 y 1669, año en que escribió el manuscrito De Analysi, cuya primera publicación se presento hasta 1704.

Leibniz descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684.

Los dos descubrimientos fueron independientes, y sus puntos de partida fueron muy distintas tanto conceptual como metodológicamente.El cálculo diferencial e integral de Leibnitz tuvo una influencia muy grande en el desarrollo de la matemática de fines del XVII y principios del XVIII

EDAD MEDIA

La Edad media abarca del s. V a XV, durante esta época analizamos los aspectos más importantes del Cálculo y que tuvieron gran influencia en esta época, ya que el Cálculo aunque ha sido una de las grandes conquistas de la humanidad. Sin embargo, no hubo muchos adelantos ya que el bajo nivel de las matemáticas en las sociedades era muy natural debido a la ortodoxia y a la intromisión de la iglesia en la educación.
En la edad media podemos destacar las siguientes características: En primer lugar, al cálculo se le consideraba como un prototipo de razonamiento abstracto empleado en todos los aspectos del conocimiento, este aporte tan importante se lo debemos a Aristóteles.
Durante esta época, algunas personas todavía utilizaban el ábaco porque todavía los sistemas de numeración no eran posicionales y no conocían el valor operacional del cero, esto ocurrió hasta el siglo IX, por tanto esto era un impedimento para la solución de los algoritmos en Cálculo; pero tiempo después el algoritmo que hoy en día trabajamos en el cálculo aritmético, que decimos que es universal, por lo anterior mente nombrado fue el producto de un gran transcurso de tiempo, y realmente su inicio fue en el s. X, gracias a las contribuciones algorítmicas de al-Juwarizmi , el cual empezó con el sistema decimal, ya incluido el 0.
Cuando finalizaba este periodo de tiempo, en general los matemáticos demostraron un gran interés en los instrumentos de cálculo porque se dieron cuenta de la gran utilidad, que podrían tener en el estudio de cualquier rama de las matemáticas.

EDAD ANTIGUA

El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo x+ax= b. La correcta implementación de la regla aritmética del cálculo, por parte de los Indios, aumentó el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, además ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones.

En la Antigua Mesopotamia, se introdujo el concepto de número inverso, además de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma parabólica, y su avance fue tal que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones.

El aporte principal de China se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao.

En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la construcción de límites, por lo que en su época, Demócrito y otros grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificación de las matemáticas y la teoría filosófica atomicista. Considerando de esta forma la primera concepción del método del límite.
El interés que produjeron las matemáticas en Grecia, hace que se considere como la cuna de esta ciencia. Por lo cual se bautizó a la época comprendida de los años 300 a.c y 200 a.c, como la edad de oro de las matemáticas.

En cuanto a los Árabes, los avances obtenidos en esta época, enmarcan al concepto del límite, introducción de los números racionales e irracionales, especialmente los reales positivos, y el desarrollo en la trigonometría, en donde se construyeron tablas trigonométricas de alta exactitud.

CALCULO PREHISTORICO

No se conoce ninguna cultura en la que no aparezca la noción de contar, el proceso de contar consiste en establecer una correspondencia entre los objetos a contar y un conjunto de objetos o símbolos que representan a los objetos iniciales pero que son mas fáciles de manipular, como los dedos de una persona, los nudos de una cuerda o algunos signos dibujados en un trozo de madera o de piedra, etc.

Para simbolizar cada cantidad, el hombre invento palabras y signos que expresaban el conjunto de números representados. En la prehistoria se empleaban elementos como palitos, guijarros, conchas, piedras, las articulaciones del cuerpo, etc.

INTRODUCCIÓN

La palabra Cálculo se deriva del latín calculus que significa contar con piedras.

Aunque no conocemos con certeza el origen de las matemáticas, podemos afirmar que ésta ciencia es innata al ser humano, pues, en el caso del cálculo, su génesis responde a la necesidad que tiene una sociedad de mensurar lo que se encuentra a su alrededor, pues todo hombre debe sobrevivir en un medio y esto conduce a que se generen diversos métodos para entenderlo y así resolver los problemas que su entorno le formule.